17 juillet 2012 18h26 · Ianik Marcil
Supposons que vous désiriez calculer la vitesse d’une boule de pétanque atterrissant sur votre terrain préféré. Votre vieux manuel de physique de secondaire 4 vous fournira l’équation idoine à cette fin, si vous êtes en mesure d’évaluer la masse de la boule, l’énergie cinétique que le travail de votre bras lui aura imprégné et autres petites variables du même acabit.
L’ensemble de ces informations, les « conditions initiales, » sont mesurables et les lois élémentaires de la physique nécessaires à ce calcul, connues depuis Newton. Le résultat ne pose donc aucun problème : nous pouvons calculer avec précision et certitude la vitesse de notre boule de pétanque.
Sauf que pas vraiment.
Il y a plus de cent ans, un grand mathématicien et physicien français, Henri Poincaré, a produit une réflexion à ce sujet qui a fortement marqué le développement des mathématiques pures et appliquées de la deuxième moitié du 20e siècle.
Poincaré est décédé il y a 100 ans aujourd’hui. Il a été l’un des mathématiciens et des physiciens les plus importants du siècle dernier et ses travaux ont, notamment, donné naissance à ce qui fut appelé, dans les ouvrages grand public, la « théorie du chaos. »
Simplifions à outrance : si en théorie nous pouvons calculer la vitesse et la trajectoire de notre boule de pétanque à partir d’une mesure adéquate des conditions initiales, en pratique cela sera souvent impossible.
Poincaré a mis à jour ce qu’on appelle maintenant le principe de « sensibilité aux conditions initiales. » Ce concept stipule tout simplement que même un système parfaitement déterministe (dont le comportement n’est pas soumis au hasard) peut suivre une trajectoire qui varie énormément en fonction de toutes petites variations dans les conditions initiales. On a illustré ce phénomène par l’analogie de « l’effet papillon » : le battement d’aile d’un papillon à l’autre bout du monde peut, par un espèce de principe de boule de neige, causer une tempête formidable chez nous. Quelques grains de sable de trop au sol, un imperceptible geste de notre index sur la boule de pétanque et voilà les conditions initiales modifiées.
Poincaré écrivait, en 1908 :
Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est que tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. [1]
Plus un phénomène est complexe, c’est-à-dire plus il intègre de nombreux éléments interagissant entre eux, plus cette sensibilité aux conditions initiales sera grande – et cela sera d’autant plus le cas si le système évolue sur une période de plus en plus longue. Une infime variation dans le comportement d’un des éléments du système entrainera une modification radicale de l’état général du système à l’arrivée.
Les implications philosophiques et scientifiques de ce principe sont bien entendu extraordinaires. En simplifiant, on pourrait dire que cette notion toute simple anéantit complètement notre capacité à prévoir l’évolution de tout système relativement complexe.
L’originalité de l’apport de Poincaré tient au fait qu’il ne considérait pas cette incapacité comme un problème pratique, mais théorique. En effet, les mesures finies seront toujours imparfaites, alors que le monde que nous observons nécessiterait des mesures infinies pour en prévoir l’évolution.
Mais les héritiers de Poincaré ont découvert une réalité encore plus frappante : certains systèmes parfaitement fermés et déterministes (sous forme d’équations très simples) peuvent se comporter de manière totalement chaotique en modifiant très légèrement leurs conditions initiales. Ça n’est même plus la qualité des instruments de mesure qui nous empêche de prédire l’évolution d’un système : certains d’entre eux sont de nature totalement imprédictible, en théorie comme en pratique, en somme.
Si cela est vrai d’un système physique simple, ça l’est a fortiori d’un ensemble aussi complexe qu’une société. De nombreuses recherches s’appuient sur ces principes pour tenter de mieux en comprendre l’évolution. Pour comprendre, notamment, comment l’ordre émerge d’un système par définition chaotique.
Mais au-delà de ces recherches empiriques, de plus en plus développées grâce à la puissance informatique, l’héritage de Poincaré demeure une fabuleuse source d’inspiration pour penser l’économie de notre monde complexe.
Nos sociétés sont déterminées par leur passé. Poincaré ne remettait aucunement en question le déterminisme global de ses prédécesseurs (Laplace, plus particulièrement) : l’état actuel de l’univers (i.e. de tout ce qui existe) est déterminé par son état passé. Cependant, ce déterminisme ne s’applique pas localement : un système économique donné, par exemple, a beau être totalement déterminé par son passé, l’univers des possibles devant lui est incroyablement vaste et varié, puisqu’il est « sensible aux conditions initiales. »
Cent ans plus tard, la lecture des œuvres de Poincaré (qui fut un vulgarisateur hors pair) demeure encore aujourd’hui d’une fécondité exceptionnelle pour réfléchir sur la complexité de notre monde.
(Un site fort bien fait est consacré à Poincaré: poincare.fr.)
[1] Henri Poincaré (1908), Science et méthode, Paris, Ernest Flammarion, 1922, p. 68-9.
Il y a quelque chose que je ne comprends pas : qu’est-ce qui arrive lorsqu’on tente de déterminer un résultat en pratique pour que cela devienne impossible? « Une infime variation »? mais quoi, un muscle qui veut pas trop et plus rien ne fonctionne? De ce que vous en dites, un bras robotisé lançant à une vitesse déterminée ne changerait rien à l’affaire, mais encore, je crois saisir l’explication, mais je ne parviens pas à imaginer d’exemples concrets (celui du papillon, 1) fait trop appel à l’imaginaire 2) est devenu un cliché sur lequel il y a trop d’interprétation a priori) qui permettraient de vraiment « voir » la théorie de Poincarré à l’œuvre.
pas sur que la petanque soit le meilleur exemple sauf s’il y a plein de boules sur le terrain… mais en gros on peut comprendre le phénomène comme une amplification exponentielle des variations microscopiques. Pour avoir une bonne prevision à t+1 il faut multiplier la precision des mesures par x à chaque fois.
Merci pour cet intéressant texte.
« Il y a quelque chose que je ne comprends pas : qu’est-ce qui arrive lorsqu’on tente de déterminer un résultat en pratique pour que cela devienne impossible? »
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos
C’est difficile a vulgariser et dans le fond c’est avant tout formalisé en langage mathématiques donc bien difficile de le concevoir clairement sans y recourir explicitement.
Mais disons que cela apparait en particulier dans le contexte des équations différentielles nonlinéaires et du domaine de ce que l’on qualifie de systèmes dynamiques. En gros, on pourrait dire que c’est un problème de croissance des erreurs dans la solution. Cela pose des difficulté lorsqu’on veut résoudre numériquement de telles équations.
Dans le cadre de la mécanique classique qu’on mentionne dans le texte. Ici lorsqu’on évoque l’équation de Newton (3e loi).
F=ma ou F et a sont des vecteurs.
F pour la force et a pour l’accélération. Par contre, c’est une équations très compliquée, car la force peut dépendre, du temps, de la position ou même de la vitesse.
L’accélération est la deuxième dérivée de la position par rapport au temps, et donc si la force dépend de la position on obtient une équation différentielle du second ordre nonlinéaire. Si on est dans un espace a trois dimensions et avec N objets on aura alors un ensemble de telles équations a résoudre. Très souvent, il n’y a pas de solutions explicite que l’on peut trouver de manière générale et on doit donc recourir a des solutions numériques.
Une des conséquences de ces idées est de se demander si le système solaire lui-même est stable et dans quelle mesure on peut prévoir son évolution, ce qui est une question très compliquée
http://www.franceculture.fr/le-systeme-solaire-est-il-chaotique
Concernant le livre de Poincaré je suis tombé justement la semaine dernière sur un vieil exemplaire dans une librairie en Europe, c’est toujours agréable a lire.
Excellent billet, la nature est faite de chaos et d’ordre, la société aussi!
Deux questions: Est-ce que les idées de Poincaré n’ont-ils pas trouvé un écho dans une branche du roman de science-fiction comme source d’inspiration chez des auteurs comme Philip K. Dick notamment?
Et quels sont les scientifiques qui ont su bien développer cette théorie du chaos amorcé par Poincaré? C’est qu’il y a tellement de scientifiques ayant écrit sur le sujet, surtout à partir des années 70 où elle a inspiré bon nombre de mathématiciens et d’autres scientifiques.
Une bonne leçon pour la finance, les marchés et autres prévisionnistes.
En complément, un incontournable, Le Cygne noir – La puissance de l’imprévisible, de Nassim Nicholas Taleb (Les Belles Lettres). Même que l’auteur nous « montre comment cesser de tout prévoir ou comment tirer partie de l’incertitude ». Du bonbon.
Oups, oubliez ce doublon et ne tenir compte que du commentaire suivant. Je croyais que le premier n’était pas « parti ».
Votre «doublon» ne se trouve nulle part, Monsieur Tapp.
(Peut-être cela a-t-il un peu à voir avec le sujet de ce billet, une illustration pratique de cette supposée «sensibilité aux conditions initiales». À moins que cet élusif «doublon» n’ait fait que petit arrêt parmi les commentaires – pour aller ensuite poursuivre sa trajectoire dans l’univers mystérieux que tente d’expliquer la «théorie du chaos». Tout ceci écrit sous toutes réserves et bien hypothétiquement, bien entendu…)
Ah si ce nécessaire billet et d’autres pouvaient ébranler la hautaine suffisance du monde de la finance et des marchés et l’assurance des experts qui prétendent prédire.
En complément, un incontournable, Le Cygne noir – La puissance de l’imprévisible, de Nassim Nicholas Taleb (Les Belles Lettres). L’auteur « nous exhorte à ne pas tenir compte des propos de certains « experts », et nous montre comment cesser de tout prévoir ou comment tirer parti de l’incertitude ». http://m1p.fr/hgy