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4 octobre 2012 23h22 · Normand Baillargeon

Chaque vendredi, je publie sur ce blogue de petites énigmes logico-mathématiques, ainsi que la solution des énigmes de la semaine précédente.
Merci de ne pas poster vos solutions ici, de manière à permettre à tout le monde de jouer.
Les questions demandant des éclaircissements ou des précisions sont par contre les bienvenues.

Enigmes de la semaine

1. Cette énigme est associée à une jolie histoire concernant le génial John Von Neuman (1903-1957): mais je ne vous  la conterai que la semaine prochaine:-) D’ici là, voici l’énigme. Deux  cyclistes partent l’un d’un point A, l’autre d’un point B, et vont l’un vers l’autre, en ligne droite, à la vitesse, chacun, de 15 kms/heure. Les points A et B sont distants de 30 kms. Au moment du départ, une mouche quitte le guidon d’un des cyclistes et vole vers le guidon de l’autre, à la vitesse de  25 kms/ heure. Quelle distance la mouche aura-t-elle parcourue quand les deux cyclistes se rencontreront?

2. Dans la vie de tous les jours, on calcule tous des probabilités, sans arrêt. Le principe est tout simple. La probabilité d’un événement est une proportion qu’on trouve en divisant les cas favorables sur les cas possibles. Probabilité de tirer un as d’un paquet de 52 cartes? 4 chances (il y  a quatre as) sur 52 (il y a cinquante-deux cartes). Probabilité d’accoucher une fille? En gros, une chance sur deux. Et ainsi de suite.  Pourtant, tout le monde, y compris les matheux et matheuses, peut commettre, sur les probabilités, des erreurs grossières. C’est qu’il n’est pas toujours évident de déterminer quels sont les cas possibles et les cas favorables et que si on se fie aveuglément à notre intuition au lieu de dénombrer, il arrivera qu’on se trompe. Voici un  exemple où votre intuition sera peut-être prise en défaut.

Un couple a eu quatre enfants. On ignore si ce sont toutes des filles ou tous des garçons ou un mélange de filles et de garçons, comprenant 2 filles et 2 garçons ou trois enfants d’un sexe et un de l’autre. Quelle distribution est la plus probable?

Solutions aux énigmes de la semaine dernière

1. Les trois possibilités sont les suivantes (V= dit Vrai; M= Ment) pour le Premier,  le Deuxième et le Troisième prisonnier:

Premier     Deuxième      Troisième

V                     M                     M

M                   V                      M

M                   M                     V

 Le deuxième possibilité est exclue puisque ce que disent le Premier et le Troisième prisonniers ne peuvent être simultanément faux. Restent donc les possibilités  1 et 3, qui font de B ou A des coupables —  ils ont chacun une chance sur deux de l’être. C est donc certainement innocent.

2. On répond volontiers une chance sur deux; mais la réponse est 2/3. Au début il y a dans le sac une bille noire N ou une bille blanche B1. On ajoute une bille blanche, qu’on appellera B2. Une fois la bille blanche retirée du sac, les cas possibles sont :

Dans le sac     Tiré du sac

B1                             B2

B2                             B1

N                                B2

Dans deux cas sur trois, une bille blanche reste dans le sac.

3. Le premier 1 étant  posé sur la première ligne, la ligne suivante décrit ce qui s’y trouve: 11 (i.e. un 1). Cette deuxième ligne est décrite à son tour par la ligne suivante: 21 (i.e. deux 1) et ainsi de suite. La Caverne d’Ali Baba s’ouvrira en écrivant: 13112221.