Prise de tête

Une découverte mathématique historique

Montréal, 4 avril 2013. Le monde des mathématiques est en pleine ébullition depuis quelques jours.

La raison de cet émoi est un article publié par le professeur I.M. Foney dans le tout dernier numéro (vol. 3, no 14, p. 15-92) d’Acta Mathematica – c’est si récent, en fait, qu’il y a de fortes chances que vous puissiez dire avoir appris l’extraordinaire nouvelle ici même, au Voir. Mais très bientôt cet article sera bien connu du grand public. C’est que ses conséquences sont à ce point hors de l’ordinaire que certains, parmi ceux et celles qui sont capables de le lire (ils ne sont pas si nombreux…), le considèrent déjà comme un des plus importants articles scientifiques des cent dernières années.

De quoi s’agit-il?

Dans ce texte intitulé «Das ist alles ein Witz: Goldbach zu sehen», Foney vient de démontrer la fameuse conjecture de Goldbach! Et ce n’est pas tout: sa démonstration a nécessité la mise en œuvre de concepts et de théorèmes à ce point radicalement nouveaux que leurs possibles implications sur les mathématiques, les sciences, la philosophie et sur plusieurs autres domaines sont, littéralement, incommensurables. En fait, c’est tout l’édifice de notre culture qui pourrait être ébranlé par l’article du professeur Foney!

Rappelons que la conjecture de Goldbach, formulée en 1742 par Christian Goldbach (1690-1764), affirme que tout entier pair supérieur à 2 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Explications.

On se rappellera que les nombres premiers sont des entiers naturels qui ne peuvent se diviser que par 1 et par eux-mêmes. Par exemple: 16, divisible par 2, 4 et 8 (en plus de 1 et de 16), n’est donc pas premier. Mais 5, divisible seulement par 1 et 5, est premier. 7, comme on le constatera facilement, est lui aussi un nombre premier. Vous vérifierez facilement que la conjecture de Goldbach est confirmée pour 12, qui est un entier pair supérieur à 2 et qui peut, en effet, s’écrire comme: 7 + 5.

On sait depuis Euclide qu’il existe une infinité de nombres premiers et la conjecture de Goldbach, vérifiée par ordinateur pour tous les entiers pairs jusqu’à des nombres extraordinairement grands, restait une hypothèse, justement parce qu’elle n’avait pas été démontrée pour tous les entiers pairs supérieurs à 2. C’est ce que le professeur Foney vient de faire, en déployant pour cela des trésors d’ingéniosité sous la forme de concepts et de théorèmes nouveaux.

Pour le moment, il semble (semble: car tout cela est si neuf…) qu’on pourra classer les probables répercussions de ce travail en spéculatives et lointaines, d’une part, et pratiques et immédiates, de l’autre.

En voici quelques exemples.

Sur le plan spéculatif, il existe en cosmologie une constante dite d’Einstein, que le célèbre physicien avait abandonnée en la qualifiant de plus grande erreur de sa vie. Or, dans certaines des équations de Foney, on trouve matière à réactiver cette constante et donc à penser que l’univers est fini et statique. Des théologiens commencent déjà à spéculer que l’on tient peut-être là, enfin, les bases d’une décisive preuve de l’existence de Dieu!

Les philosophes, de leur côté, examinent la preuve de Foney et en tirent des conséquences étonnantes. Par exemple, les thèses du constructivisme radical sur les mathématiques recevraient un fort appui de cette démonstration. En un mot, cela signifie que les mathématiques ne sont qu’une convention sociale! «Au sens strict, avant l’apparition des êtres humains, quand deux dinosaures se trouvaient dans une clairière et que deux autres dinosaures les rejoignaient, il n’y avait pas quatre dinosaures dans la clairière», explique le professeur Grasersfeld, de l’Université de Schwachkopf.

Mais ce sont les conséquences pratiques et (relativement) immédiates de l’article de Foney qui sont les plus extraordinaires. En voici deux.

La sécurité de toutes nos transactions électroniques est garantie par un système de codage à clé publique appelé algorithme RSA, lequel repose sur certaines propriétés des nombres premiers. Or, et ceci n’est rien de moins que terrifiant, ce système ne sera bientôt plus sécuritaire dès que des personnes mal intentionnées comprendront l’usage qu’on peut faire d’un théorème démontré par Foney pour prouver la conjecture de Goldbach. Au moment où j’écris ces lignes, la déclaration du célèbre cryptologue allemand Kurt Gödel, qui devait rester confidentielle, commence à être répercutée sur les réseaux sociaux: «La Toile a régné, mais elle va s’écrouler sous nos yeux d’ici peu, a-t-il dit. C’est inévitable. La catastrophe sera complète. Complète, je vous dis!»

Une autre des conséquences pratiques de tout cela concerne l’établissement du calendrier. Nos mesures du temps seraient en effet, depuis longtemps, légèrement erronées. Pour donner une idée des correctifs qu’il faudra apporter, et pour aller au plus simple, rappelons les propos de la célèbre professeure cambodgienne Poach Sohnd Haveril, qui déclarait hier à l’AFP que le résultat établi par Foney signifie que le 1er avril, cette année, tombera probablement le 4.

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